現在、森博嗣先生の「赤緑黒白」を読んでいる途中です。森先生の本を読むのは久しぶりなのですが、読みながら思い出したのが「笑わない数学者」の中で出題されていた次の問題です。

(第1問)４，４，１０，１０を使った四則演算で２４を作れ。

カッコは自由に使ってもよいし、順番を入れ替えてもよいです。これは小説の中でも「小手調べ」的な問題で、少し考えればきっと誰でも解けるものです。

(第2問)３，３，７，７を使った四則演算で２４を作れ。

第1問の解答が示された直後に出題された問題です。とっても難しい問題で、普通の考えでは解けにくいです。でも、テレビの平成教育委員会などでは同様の解き方の「１，１，９，９を使った四則演算で１０を作れ。」といった問題が出されましたが、よくある問題なのですかね？「４，４，７，７を使った四則演算で２４を作れ。」というのも同様ですね。

(第3問)３，３，８，８を使った四則演算で２４を作れ。

これを出題された主人公は即座に「全部かけてルートする」と答えましたが、ルートは四則演算ではないので使えません。正解はここでは示しませんが、特に第3問の解答には「なるほどね〜」とタメ息が出てしまいました。

このように数個の数字の四則演算で別のある数字を作るゲームを「クリプト」と言います。私が幼少の頃通っていた珠算教室ではときどき「クリプト大会」が行なわれて速く解けた人には飴玉をくれたのですが、最近でもやってるのでしょうか？こちらのサイトで、クリプトに似たFlashゲームが楽しめます。でも四則演算が×÷優先ではなく左から計算させていくため、小学生にはあまりお奨めできません。

クリプトの問題で何か面白い問題が作れないかなと考えていたのですが、昨日の「３，３，８，８から２４を作る」の切れ味の良さに勝るものを思いつきません。もし「こんなのも面白いよ」という問題を知っている方がいらっしゃれば教えていただきたいです（こちらまで）。
さて、そんなことを考えていたら次のような問題を思いつきました（もう以前にどなたかが考えているとは思いますが）。

１〜１０の整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、自然数を作ります。１×１×１×１＝１に始まり10×10×10×10＝10000まで作ることができますが、全ての自然数を作れるわけではありません。作ることの出来ない最小の自然数は何でしょうか？

私なりに解答は考えているのですが、答えは次回にしたいと思います。

昨日の続きです。問題は次の通りです。

１〜１０の整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、自然数を作ります。１×１×１×１＝１に始まり10×10×10×10＝10000まで作ることができますが、全ての自然数を作れるわけではありません。作ることの出来ない最小の自然数は何でしょうか？

私はこの手の問題を考えるときには、シラミツブシの試行錯誤によって経験的に理解していく方法をとります。私の場合、論理的にズバッと解いたときにはほとんど間違いなく大きな勘違いをしている、ということを経験的に理解しているからです。

シラミツブシによる方法には限界があり、以前は両手両足の指の本数くらいまでしか考え切れなかったのですが、最近では不断の努力により「羊が１匹、羊が２匹・・・」と数えて眠らないくらいの数まで考えることができるようになりました。論理的に華麗に解くことにはいつも憧れてはいるのですが、仮に万が一華麗に解けたとしても大きな勘違いをしている可能性が非常に高いため、検算のために結局シラミツブシをしなければならない、ということも経験的に理解しています。

さて前置きが長くなりましたが、答えは「４６１」ではないでしょうか？（答えなのになぜか疑問形）

一応、大雑把に私なりの考え方を書いときますと、まず１から２１までの数は２つの１〜１０によって表すことができますので、それらに１０を掛けて１〜１０の数のいずれかを足すことによって２２０までは全て作ることができます。その後は例えば２２５＝５×５×９なので、それに１〜１０の数のいずれかを足したり引いたりすれば２３５までは作ることができます。同様に２４０＝３×８×１０なので、これに１０までの数を足して２５０まで作れる・・・という具合に、後は大体２０飛ばしくらいでシラミツブシにやっていけばよいのではないかと。で、４５０＝５×９×１０による４６０までは割と順調にいくのですが、その次の４６１がどうしてもできません。４５１〜４７１の数にうまい分割が見つからない上、４６１が素数ときているものだから無理だと結論付けました。

４６１の後は、４６３、４６６、４６７が作れないと思います。で、その後は４８０＝６×８×１０とか５００＝５×１０×１０などによって順調に作れるのですが、５２３辺りからボコボコっと作れない数が現れます。

上の記述に何らか誤りがあれば（あるような気がする）、遠慮なくメールにてご指摘いただけるとありがたいです。

ついでに、問題です。

１〜ｘの整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、２００６を作るとき、自然数ｘの最小値は何でしょうか。

これはもうすでにクリプトではないですね。解答はまた明日。

昨日の問題、

１〜ｘの整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、２００６を作るとき、自然数ｘの最小値は何でしょうか。

の答えです。２００６＝１４×１３×１１＋４　なので、「１４」が正解です？よね？（自信なし）
２００６年にちなんで、もっと何か２００６がらみの問題を出そうかと考えたのですが思いつきません。思いついたらまた出題しますね。

ここ数年、この時期になると日経ＰＣ２１というコンピュータ雑誌の表計算大会に挑戦しています。６，７年前だったと思うのですが、試しにやってみようかと思って一応自分なりに答えを出したのですが、その後の入選者の作ったものを見て感動しました。私がゴチャゴチャと長たらしい式でやっとのことで出した同じ結果を、スッキリ短い式で出していました。確か、論理式を使って0を返せば空欄に、1を返せば■を表示させるようにしていたと思います。それを見た次の年から応募するようになりました。パズルを考えるようで楽しいし、後で同じ問題を解いた達人の技を見るのも勉強になります。何より賞品のパソコンに目がくらみました。３年位前までは応募した後、「パソコンをゲットしたかも！」などと本気で思っていたのですが、実際はハシニモボウニモかかっていないようです（ここ５年くらいは努力賞の図書カードはいただいてるのですが）。昨年、一昨年はもうあきらめモードですが、宝くじを買うよりは確率が高いかな、というくらいに考えてExcelパズルを楽しんでいます。

実家に帰省のため、本年の更新はこれが最後です。わざわざ見に来てくださってありがとうございました。２００６年もどうぞよろしくお願いします。１月３日くらいから再開できると思います。では、よいお年をお迎えください。

あけましておめでとうございます。今年もよろしくおねがいします。実家に帰って、「食っちゃ寝、食っちゃ寝」を規則正しく繰り返していました。昨日は子どもにせがまれて「ハリーポッター・炎のゴブレット」を観に行き、そこでさえも寝てしまったので、内容をあまりよく覚えていません。ポッターもハーマイオニーも大きくなったなあ、というのが感想です。

さて、２００６年に因んで２００６に関係するパズル問題を探したところ、「数学の部屋」で見つけました。この中の問題３、

「２００６」を連続する何個かの自然数の和で表す方法を考えてください。

に興味を持ちました。が、他人のサイトの問題を横取りすることはできませんので、この類問を２つ。

a.「２００６」を連続する何個かの自然数の四則演算で表す方法を考えてください。そのうち、使う自然数の個数が一番少ない方法はどんなものでしょうか。

b.「２００６」を１から連続する何個かの自然数の四則演算で表す方法を考えてください。そのうち、使う自然数の個数が一番少ない方法はどんなものでしょうか。

実は例によって、私自身の解答が不安なのですが・・・。一応、これでいいのかな、というものはあるのですが、「最少個数」なのかどうかがちょっと・・・（そこがもっとも肝心だ！）。

昨日の問題の、まずa.の問題、

a.「２００６」を連続する何個かの自然数の四則演算で表す方法を考えてください。そのうち、使う自然数の個数が一番少ない方法はどんなものでしょうか。

について。答えは「2005−2006＋2007」ですかね？奇数を作れという問題だったら２つの連続自然数の和で表せます。例えば「２００５を作れ」という問題だったら「1002＋1003」で作れますが、偶数だとそうはいきません。が、引いて足せば三個の連続数で偶数を作ることができます。で、次のb.問題です。

b.「２００６」を１から連続する何個かの自然数の四則演算で表す方法を考えてください。そのうち、使う自然数の個数が一番少ない方法はどんなものでしょうか。

これは得意（？）のシラミツブシで考えたのですが、
「1×2×(3×4＋5)×(6×7＋8＋9)」
ではないかと思うのですがいかがですか？2006を素因数分解すると　2×17×59　なので、これをもとに考えました。もし、順番は入れ替えてもよい、ということでしたら、
「1×2×5×8×(3×7＋4)＋6」
でしょうか？考えている途中で
「1×2×3×5×67−4」
というのも見つけたのですが、これは反則ですね。こんなのもありとしたら、またそれはそれで面白いかもしれません。すべて解答に？がついているのは、「本当は自信があるのに謙虚な態度だなあ」などと誤解していただけると幸いです。

解答の間違いや、別解などのご連絡をいただければとてもありがたく思います。

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