ちょっと考えるところがあって正２０面体の図を描いてみた。

うーん、今のところは描いてみただけ。

大学では正多面体などの幾何学立体をＣＧで表現したいという目的で、現在はプログラミングの基礎を学んでいる。６月までにＣ言語の教科書を終わらせたので、７月からはＪａｖaの勉強を始めたところだ。具体的に何かを作る、という段階はまだまだ遥か遠い話なのだが、多面体を構造化するためには多面体の基本的な性質を探っておかなければならない。ということで、とりあえず多面体を座標軸上に置くことを考えることにした。

座標に置くとなると、多面体の中心を原点に置くというのが普通の考えだと思う。ここで言う多面体の中心とは、多面体の外接球の中心、ということにします。じゃあ、その中心から各頂点に引いた外接球の半径同士がなす角（中心角と呼ぶことにする）はどうなっているのだろうか。言葉で書いても分かりにくいので、正８面体で図に示します。（下図も分かりにくいかもしれませんが・・・）

正８面体の場合は中心角θ＝９０°となることは、図を見ればすぐに分かった。では、正４面体や正６面体ならどうだろうか？（つづく）

正４面体の中心角を求めたい。この正４面体の重心（頂点から対面へ引いた垂線を３：１に内分する点）が球の中心となるので、それからベクトルなり三角比なりを使って求められるのだが、今回は別のアプローチを試みる。そのために、多面体の「双対」について説明が必要なのだが、ウィキペディアでご覧ください（手抜き御免）。要するに、ある多面体の各面の中心（重心）を頂点として結んだときにできる多面体を「双対多面体」というらしい。だから、正４面体の双対はまた正４面体になる(下図左)。

ということは、中心角をθ、隣り合う２面がなす角をαとすれば、θ＝180°−αということになる（上右図）。だから、隣り合う２面のなす角αを求めることにする。

上図により余弦定理から cosα＝1/3 ということで、cosθ＝cos(180°−α)＝−cosα＝−1/3 となる。これをもとに関数電卓によると、θ＝109.47122063･･･のようです。ということは、立方体の場合はどうなるのか。（つづく）

立方体の中心角を探るために、立方体の双対多面体を調べる必要がある。で、したの画像をご覧いただくとわかるように、立方体と正８面体とは互いに双対の関係にある。

ということは、立方体の中心角θを求めるためには正８面体の面のなす角αを求めればよいことになる。そう言えば逆の関係で考えると、立方体の面のなす角が９０度だから正８面体の中心角が１８０度−９０度＝９０度ということで、辻褄があう。さて、正８面体の面のなす角について。

上図のようなイメージで、面のなす角αを求めたい。立体だとイメージがわきにくいので、これを横に倒して真正面から見て平面的にとらえることにする。

ちょっとわかりにくいのですが、左の動いているやつは正８面体を倒して真正面から見たものが回転していると思ってください。こう見ると右図のような三角比になって、余弦定理からcosα＝−1/3 ということがわかる。したがって、立方体の中心角θについて cosθ＝cos(180°−α)＝1/3 なので、θ＝70.5287793655･･･となります。さて、つぎは正１２面体と正２０面体なのだが・・・。（つづく）

正12面体の中心角θを求めるために、その双対多面体である正20面体の面のなす角αを求めればよい。

正20面体を面のなす角αが正しく見えるように置くと上図のようになる。図からとなるから、cosα＝なので、cosθ＝より、正12面体の中心角はθ＝41.8103･･･となります。次回は正20面体の中心角を求めます。

正20面体と正12面体は互いに双対の関係にあるので、正20面体の中心角θを求めるために正12面体の面のなす角αを求めることにする。前回の正12面体のときと同じような方法で考えた。

図のyの部分がという、ちょっと面倒な数字になります。それでも強引に計算していくと、cosα＝と、思ったよりも簡単な数字になります。ということは、もっと簡単なアプローチがあるのでしょうね。まあ、とにかくcosθ＝となって、θ＝63.4349488･･･となります。実はこの答えに至るまでに大きな勘違いをしていたようなので、次回はそのことについて。

まず7月10日に載せた画像を再掲します。

これはドロー系のソフトで描いたイラストですが、本来見えている姿を優先せずに、私が描きやすい描き方で「とにかく正20面体に見えればいいや」ということで描いたものです。だからよく見ると、真ん中の正三角形はいいとしてその周辺の三角形も正三角形になっています。ところが実際に正20面体をこの角度から見ると、周辺の正三角形には角度がついているから少し歪んだ三角形に見えるはずです。そこのところをごまかしていました（スミマセン）。で、改めて描き直したイラストをご覧ください。

こちらの方がより実際に近い形かと思います。が、正確に計算して描いたわけではないので、これも少し怪しいところです。
さて、ところでこういうものを描いていると、正20面体のこの角度からのシルエット（正射影）は正六角形になるのだろうな、という思い込みを持っていました。まあ、上の図はごまかして描いているので正六角形になるのですが、下の図でもなんとなく正六角形なんだろうなと。何しろ正20面体は対称性の高い奇麗な立体ですから。

ところが、その前提で中心角を計算すると、微妙に違う値になるんです。cosθ＝となって、θ＝64.7194468･･･になります。この値はθ＝63.4349488･･･とは微妙に異なります。で、インターネットなどで調べると後者が正しいようです。ということは、この正20面体のシルエットは正六角形ではないんですねぇ。今頃になって初めて気付きました。いやはや、お恥ずかしい話です。

先日、「正２０面体のシルエットは正６角形にならない」と書いたところ、紙折ってる場合だろ！のkawachoさんからご指摘をいただいて再検討したところ、大変な勘違いをしていたことに気付きました。kawachoさん、ありがとうございました。２日間野ざらしにしていたので、その間に見て鵜呑みにされた方がいないことを祈ります。いやはや、恥ずかしい限りですが、恥かきついでにどうしてそんな勘違いをしてしまったのか、ちょっと説明したいと思います。

正２０面体の一辺の長さを１とします。すると、上図の赤い対角線の長さはになります（上から見たときに一辺が１の正５角形の対角線だから）。で、仮にこの図が正６角形ならば、青い点線の対角線の長さがとなって、正２０面体の外接球の半径がその半分となるので、そこからcosθを計算して失敗しました。さて、この考えのどこが間違っていたのでしょうか。

昨日、とんだ大間違いの更新作業を終え、ひとり寂しく敗北感と劣等感と自己嫌悪に打ちひしがれながらメールチェックをしたところ、見慣れないアドレスから一通のメールが届いていました。ななな、何とJuno's WorldのYananoseさんご本人からです。まさに椅子から転げ落ちそうな勢いで驚きました。この辺りでも書きましたが、ずっと以前にJuno's Spinnerという幾何学おもちゃを購入して以来、Yananoseさんのことは一方的に存じ上げており、雲の上の憧れの存在の方です。その方から直々にメールを戴けるとは！！しかも大変緻密な多面体データをいただきました。ありがとうございます。こんな嬉しいことがあるのなら、何度でも大間違いをしてみせる自信があります。いやいや、失敗を恐れずにチャレンジしろ！と激励された気持になりました。本当にありがとうございました。

勘違いの原因は青い点線が鉛直方向にまっすぐだと思い込んでいたためでした。左画像を真横から見たものが右画像です。こうすると明らかに青い点線は傾いていることがわかります。これは確かに外接球の直径ではあるのですが、正射影したものは同じ長さだとは言えませんね。ああ、恥ずかしい。しかし怪我の功名というか、救う神ありですね。悪いことあれば良いこともある。こういうのをカルマの法則というのでしょうか。ということは今度は「良いことあれば悪いことあり」なのか？

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