今日から別の話題です。とは言っても多面体には違いないのですけど。

正四面体と正八面体についてです。青い方が正八面体で、黄色い方が正四面体です。で、もう一枚。

この２つは全ての面が合同の正三角形でできています。合同なので１辺の長さが同じです。
さてここで問題ですが、この正八面体の体積は正四面体の体積の何倍でしょうか？

昨日まででサッカーの九州大会が終わりました。運営にごく僅かながら関わってみて、その大変さがよくわかりました。関係者の皆さん、本当にお疲れ様でした。今回のように他人の大変さを知る、ということはとても大切なことだなあと思いました。これまで何にも知らずに色んな場面で失礼なことを言ってきたのではなかったか、と反省しました。

昨日の問題、

正八面体の体積は、それと１辺の長さが等しい正四面体の体積の何倍か

についてです。答えは４倍です。(珍しく断言）

この問題はあそびをせんとやさんの２月３日のページを見た時にヒントをもらいました。１辺の長さをｘとして計算を始めるとちょっと時間がかかりますが、下の写真を見れば簡単です。

カメラの視点が高すぎて見にくいかもしれませんが、これ以上低くすると部屋の隅のゴチャゴチャが入ってしまってみっともないのです。
正四面体４個と正八面体１個を写真のように並べると１辺の長さが２倍の正四面体ができます。相似比が２倍なら体積比はその３乗の８倍になるので、元の正四面体の体積を１とすれば積み上げてできた正四面体は体積８です。そのうち、正四面体４個分（体積４）を引けば正八面体の体積が４であることが、比較的簡単にわかると思います。

さて、以上のように正四面体４個と正八面体１個で大きな正四面体ができます。そこで小さい正四面体と正八面体をたくさん作って下の写真のように積んでみました。

さらに小正四面体を細かく分割していくこともできるでしょう。こういうのをフラクタルというのですか？ところで、このように積んでみると真ん中の正八面体は分割することはできないのだろうか、という疑問がわいてきます。そこでまた問題ですが、正八面体は１辺が半分の正四面体と正八面体のいくつかに分割できるのでしょうか？

昨日の問題「正八面体は１辺が半分の正四面体と正八面体のいくつかに分割できるのでしょうか？」についてです。これくらいだと案ずるよりも作ってみるのが簡単なので、やってみました。

これはただ積んでいるだけです。今にも崩れ落ちそうな感じですが、正八面体ができています。こんな感じで小さい正四面体が８個（八面体の各面に１個ずつ）と小さい正八面体が６個（各頂点に１個ずつ）で、大きい正八面体が作られます。頭で考えるとちょっとイメージができにくいのですが、実際に作ってみると一目瞭然です。

さて、この正八面体を昨日のフラクタルみたいな正四面体の中央の正八面体に組み込むと、下のように綺麗に積み上げることができます。

ここでまたまた問題です。この正四面体には小さい正四面体（黄色）が全部で何個使われているでしょうか？また、正八面体（青色）は何個でしょうか？

もともとがあそびをせんとやさんにいただいたヒントからの問題だったのですが、やっぱり見抜かれていたようです。でも、これくらいの問題が高校生にはちょうどいいパズルになるようです。

正四面体と正八面体を組み合わせてできた４段の大正四面体には、いくつの小正四面体と小正八面体がつかわれているのか？という問題でした。

これはもうバラバラにしてみるのが分かりやすいでしょうか。正四面体（黄色）が２４個で、正八面体（青色）が１０個です。バラバラにしなくても、この大きい正四面体を「４段の正四面体」という具合に呼ぶことにすると、２段の正四面体に黄色が４個だからその４倍と、その残りの正八面体に黄色が８個だから、合わせて２４個です。
ところがこの問題を生徒に出題すると、黄色を「２０個」と間違えるようです。なるほど、これが団子のようなものを積み上げていくのであれば、最下段が１０個、３段目が６個、２段目が３個、１段目が１個で計２０個、と間違えてしまいそうです。ところがこの問題では内側の見えないところに、逆向きの正四面体が４個隠れているのです(右下の写真の▼)。ちょっとした引っかけ問題ですね。青色の正八面体は全て見えているので間違えないようです。

さて、ではこれが１０段だったらどうでしょうか？黄色と青はそれぞれいくつになるのでしょうか？さらにさらに、ｎ段だったら・・・？？だんだんと高校数学っぽくなってきました。

小さい正四面体と正八面体を並べて積み重ね、１０段の正四面体を作ったとき、小さい正四面体と正八面体は何個使うでしょうか？という問題です。

解答は正四面体が３４０個、正八面体が１６５個です。

これがｎ段だと、正四面体が

個、正八面体が

個になります。

四面体とか八面体の立体図形の話ではなくて、数列の問題になってしまいました。ところで、こんな感じで空間を充填していった時に、正四面体と正八面体の個数の比はどれくらいになるのでしょうか。

ｎ段の場合、

：

なので、双方を

で割って、

２：１に近づいていくのでしょうか。でも先に述べたように正四面体と正八面体の体積比は１：４だから、個数の比は４：１になるような気がしませんか？このズレは「正四面体の形を大きくしていく」という条件があるために出るものだろうと思います。もしそんな条件がなくて、「正四面体と正八面体がぎっしり詰まったＵＦＯキャッチャーで、無作為にたくさん取ったとき」、個数の比は４：１になるんでしょうか？・・・と、問いかけだけして、この話題を終わりたいと思います。

四面体と八面体をたくさん作って並べたりしていたら、二男が興味を持って下の写真のようなものを作りました。

「さかな」だそうです。

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