「知性の織りなす数学美」(秋山仁著)に掲載されていた写真を参考にして、ペーパークラフトで作ってみました。

年末は非常に忙しいです。（と書きながら、「年末はつまんね」という回文を思い出しました。ちゃんちゃん♪）

昨日のものは、その前のものと同様の１×１×２の直方体が菱形十二面体に変身する立体ですが、分割の仕方が異なります。展開図は下に置いておきますので、興味のある方は作ってみてください。

直方体⇔菱形十二面体の展開図１

下のものは、これも同じく１×１×２の直方体が菱形十二面体に変身する立体です。

これは赤色の菱形十二面体が青色の菱形十二面体に変身し、さらに緑色の直方体（１×１×２）に変身し、最後に赤色の菱形十二面体に戻る、というものです。
秋山先生の言葉では、形は変わらないが色が変わるハトメ返しを「立体カメレオン」、形も色も変わるハトメ返しを「立体タコ」と呼んでおられます。この物体の場合、最初の変身は「立体カメレオン」、２番目と３番目の変身は「立体タコ」ということになります。
１２月１４日から３つの立体ハトメ返しを紹介しましたが、基本的にはすべて同じ立体です。分割方法や結合方法により様々に形を変えていくのは非常に面白いと思います。

昨日、久しぶりに本屋に立ち寄りました。私の住んでいる所は田舎であるため立ち寄りやすい本屋さんが無いので、職場に近い本屋に行きました。で、何を買ったかというと、

「ビタミンF」 新潮文庫　重松 清 (著)
「赤緑黒白―Red Green Black and White」 講談社文庫 森 博嗣 (著)
「プレイボール (1)〜(11)」集英社文庫―コミック版 ちば あきお (著)
「大人の科学マガジン Vol.9 (9)」Gakken Mook 大人の科学マガジン編集部 (編さん)

「ビタミンＦ」は以前から読んでみようと思いつつ読み逃していた本です。登場人物の父親が私と同年齢くらいなので、実感を持って読めるかなと・・・。年末年始あたりに読みたいと思います。
以前から森先生のミステリは読んでいたのですが、ここのところご無沙汰していて「魔剣天翔」以来かな？「赤緑黒白」が瀬在丸シリーズ完結編ということで、間をすっとばして読んでみようかと思います。
「プレイボール」は私の少年時代にはよく読まれていた名作で、最近忘れられつつあるものを思い出させてくれます。我が家にはすでに「あしたのジョー」と「巨人の星」は持っていて、いつの間にか長男が「あしたのジョー」を読んだようです。現在は「巨人の星」を読んでいるようです。長男もいよいよ「あしたのジョー」が読める年齢になったか、と妙な感慨にふけったりしております。それで、家の中に「プレイボール」や「キャプテン」があればそのうち読むかもしれないなと。
「大人の科学」は付録がピンホール式プラネタリウムです。ホームスターにちょっと興味があって、お金があったら買うかもしれないなあと思いながら、もしハズレだったら・・・と思うと手が出せなかったところに、これを見かけたものですからついつい手が出てしまいました。早速昨晩子どもと一緒に作ってみましたら、１時間半くらいでかなりいい感じでできました（電池の＋−の表示が逆で端子を取り付け間違えたりしたので、これから作ろうと思う人は注意が必要です）。

本屋をぶらぶらするというのはとてもよいですね。手にとってペラペラめくれる、ということが非常に重要なポイントだし、思いもかけない本に出会ったりするかもしれませんし。最近はネットで狙ったものを購入していたのですが、それはそれで手に入りにくいものが購入できるというメリットがあってよいのですが、もしこの状況が行き過ぎて町の本屋さんがつぶれたりすると、とても困ることだなあとも思いました。

立体ハトメ返しの続きです。前回の直方体⇔菱形十二面体の「立体カメレオン・タコ」の展開図を掲載します。興味のある方はどうぞ。

「立体カメレオン・タコ」の展開図

前回までのものは立方体二つ分の直方体（１×１×２）と菱形十二面体の立体ハトメ返しだったのですが、次のものは１×１×(ルート２)の直方体と切頂八面体の立体ハトメ返しです。

いよいよ収まりが悪く手で押さえてないとだらしなく開くものですから、私の手も特別出演です。なんだかインチキ手品師みたいですね。

CanonのIXY digital 500を愛用していてこれまで不都合を感じたことがなかったのですが、こんな写真の撮り方をしだしてからインターバル撮影ができたらなあと思うようになりました。次回買い換えるとき（当分先だな）はインターバル撮影ができるものに（それと三脚にセットできること。IXY500はできる。）しようかなと密かに思ってます。（ネットに出しといて「密かに」とはどういうことだ？）

昨日の直方体⇔切頂八面体の立体ハトメ返しの展開図を掲載します。

直方体⇔切頂八面体の立体ハトメ返し

これを頭の中で思い描いていたときにはなんとなく１×１×（ルート２）の直方体ではなく、立方体になるのではないかと思ったのですが、勘違いでした。11月20日に掲載しましたが、以前に作った吉本キューブ風の切頂八面体⇔立方体（下に再掲します）が頭に残っていたためだろうと思います。

これをうまくつなぎかえれば、立方体と切頂八面体のハトメ返しができそうなものですが・・・。次回の課題にしたいと思います。

作りためたものはこれでおしまいなので、次回からは別の話題にします。また、新しいものを作ったらその都度発表しますね。

いつも楽しく拝見しているあそびをせんとやさんの12月19日のひとことに出ていた問題、

長さが１の線分（棒）をN本つないだ「輪」を考えます。平面上であれば、これはN角形になります。3次元空間内でこの輪を「結び目ができるように」繋ぐことを考えます。もちろん、線分同士は互いに交差できません。（でないとどんな結び目でもほどけてしまって、結び目ができません。）隣り合わない線分がかならず共有点を持たないように結び目を作るとしたら、線分は何本必要でしょうか？

についてです。問題を見てもイメージすら浮かばなかったのですが、12月20日のひとことに掲載されていたCGを見て「これなら私にも作れるのではないか」と思い、実際に作ってみました。もちろんCGは作れないのですが、私の机の上には諸々の事情により爪楊枝が沢山ありましたので、それと木工用ボンドで作ってみました。

どの爪楊枝が前でどれが後ろなのか非常に分かりづらいと思いますが、勘弁してください。これを眺めていたら、なるほど７本でもできそうだな、と思えてきました。で、あらためて７本で作ってみようと思ってできたのが次の写真です。

７本でと思って作っていたら、６本でいけそうな感じだったので６本で作りました（喜）。でも、これって本当に「結び目」ができていると言えるのでしょうか？？？（それさえも解らない・・・TT;）

こんなときこそZOMEだ、と思いついて、昨日の「爪楊枝結び目」をZOMEで作ってみました。

今日は大雪です。早く行かなければ・・・。

あそびをせんとやさんに紹介されて光栄です。ありがとうございます。またまた、１日で１００アクセスを超えてビックリしました。

昨日は地元のイベントで「べっぷ クリスマスHANABIファンタジア」というものに行ってきました。私の家族と兄の家族と両親の計１１名で近くのホテルに宿泊し、花火を見るという企画です。まあ身内の忘年会といった感じで今年が初めての企画だったのですが、なかなか面白かったので来年以降も継続するかもしれません。

お茶を飲みながら妻が持ってきた「イチゴ大福」を食べたのですが、その台紙が直径５ｃｍくらいの円形の厚紙で、何枚か集めて何か遊ぶものはできないかと考えていたら、「幾何学おもちゃの世界」で見た「オロイド」を思い出したので、即興で作ってみました。

手近にハサミなどもなかったので、手で４分の１くらいちぎって組み合わせました。畳に置いたところ予想以上にコロコロと転がって止まらない状態だったので、「もしや欠陥ホテルで傾いているのでは･･･？」などと勘ぐってしまったのですが（ホテルの方、スミマセン）、単に温風が循環していていい具合に後押ししていたようです。そのときの様子を動画にしたので、興味のある方はご覧ください。（動画では息を吹いて後押ししました）

オロイドの動画(188kb)

転がる様子を見ながら、私の明晰な頭脳でオロイドについて詳細な分析をした結果、「オロイドはおもろいど」という駄洒落を瞬時に思いつきました。が、その場の雰囲気を乱してはいけないという慎み深い配慮により、どうしても言い出せませんでした。

先日花火を見に行きましたが、その中でハート型の打ち上げ花火が上がって歓声が沸きました。私が見た中では２回ハート型花火を確認したのですが、その前後には一直線になったものや少しちぐはぐなものもあったので、もしかしたらそれらもハート型かもしくは別の形を狙ったものだったかも知れませんし、別の角度から見たらきれいに見えていたのかも知れません。

それを見ながら、「どのように打ち上げたら、より多い人にハート型が見えるのだろうか」ということをぼんやりと考えました。夜空にディスプレイされたハート型は地面に垂直に立ったように見えたのでそのようなことを考えたのでしょうが、ちょっと考えると地面と平行な平面にハート型を描けば、360度均等に（ハートの向きは無視するとして）見えることに気付きました。下から上を見上げているので、冷静に考えると当然でしたね。今回のイベントでは北側は海で観客は南側にしかいなかったので、南側に面を向けるように角度を少しつければ、より多くの人にハート型が見えるのだろうなと思いました。

考えるのは簡単ですが、花火職人さんはそういうことを（もっと複雑なことも）実際にやってみせているわけですから、本当にすごい職人業だなあと思います。それにしてもそんなことを考えているようじゃ、ロマンティックな花火が台無しかもしれないですね。

現在、森博嗣先生の「赤緑黒白」を読んでいる途中です。森先生の本を読むのは久しぶりなのですが、読みながら思い出したのが「笑わない数学者」の中で出題されていた次の問題です。

(第1問)４，４，１０，１０を使った四則演算で２４を作れ。

カッコは自由に使ってもよいし、順番を入れ替えてもよいです。これは小説の中でも「小手調べ」的な問題で、少し考えればきっと誰でも解けるものです。

(第2問)３，３，７，７を使った四則演算で２４を作れ。

第1問の解答が示された直後に出題された問題です。とっても難しい問題で、普通の考えでは解けにくいです。でも、テレビの平成教育委員会などでは同様の解き方の「１，１，９，９を使った四則演算で１０を作れ。」といった問題が出されましたが、よくある問題なのですかね？「４，４，７，７を使った四則演算で２４を作れ。」というのも同様ですね。

(第3問)３，３，８，８を使った四則演算で２４を作れ。

これを出題された主人公は即座に「全部かけてルートする」と答えましたが、ルートは四則演算ではないので使えません。正解はここでは示しませんが、特に第3問の解答には「なるほどね〜」とタメ息が出てしまいました。

このように数個の数字の四則演算で別のある数字を作るゲームを「クリプト」と言います。私が幼少の頃通っていた珠算教室ではときどき「クリプト大会」が行なわれて速く解けた人には飴玉をくれたのですが、最近でもやってるのでしょうか？こちらのサイトで、クリプトに似たFlashゲームが楽しめます。でも四則演算が×÷優先ではなく左から計算させていくため、小学生にはあまりお奨めできません。

クリプトの問題で何か面白い問題が作れないかなと考えていたのですが、昨日の「３，３，８，８から２４を作る」の切れ味の良さに勝るものを思いつきません。もし「こんなのも面白いよ」という問題を知っている方がいらっしゃれば教えていただきたいです（こちらまで）。
さて、そんなことを考えていたら次のような問題を思いつきました（もう以前にどなたかが考えているとは思いますが）。

１〜１０の整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、自然数を作ります。１×１×１×１＝１に始まり10×10×10×10＝10000まで作ることができますが、全ての自然数を作れるわけではありません。作ることの出来ない最小の自然数は何でしょうか？

私なりに解答は考えているのですが、答えは次回にしたいと思います。

昨日の続きです。問題は次の通りです。

１〜１０の整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、自然数を作ります。１×１×１×１＝１に始まり10×10×10×10＝10000まで作ることができますが、全ての自然数を作れるわけではありません。作ることの出来ない最小の自然数は何でしょうか？

私はこの手の問題を考えるときには、シラミツブシの試行錯誤によって経験的に理解していく方法をとります。私の場合、論理的にズバッと解いたときにはほとんど間違いなく大きな勘違いをしている、ということを経験的に理解しているからです。

シラミツブシによる方法には限界があり、以前は両手両足の指の本数くらいまでしか考え切れなかったのですが、最近では不断の努力により「羊が１匹、羊が２匹・・・」と数えて眠らないくらいの数まで考えることができるようになりました。論理的に華麗に解くことにはいつも憧れてはいるのですが、仮に万が一華麗に解けたとしても大きな勘違いをしている可能性が非常に高いため、検算のために結局シラミツブシをしなければならない、ということも経験的に理解しています。

さて前置きが長くなりましたが、答えは「４６１」ではないでしょうか？（答えなのになぜか疑問形）

一応、大雑把に私なりの考え方を書いときますと、まず１から２１までの数は２つの１〜１０によって表すことができますので、それらに１０を掛けて１〜１０の数のいずれかを足すことによって２２０までは全て作ることができます。その後は例えば２２５＝５×５×９なので、それに１〜１０の数のいずれかを足したり引いたりすれば２３５までは作ることができます。同様に２４０＝３×８×１０なので、これに１０までの数を足して２５０まで作れる・・・という具合に、後は大体２０飛ばしくらいでシラミツブシにやっていけばよいのではないかと。で、４５０＝５×９×１０による４６０までは割と順調にいくのですが、その次の４６１がどうしてもできません。４５１〜４７１の数にうまい分割が見つからない上、４６１が素数ときているものだから無理だと結論付けました。

４６１の後は、４６３、４６６、４６７が作れないと思います。で、その後は４８０＝６×８×１０とか５００＝５×１０×１０などによって順調に作れるのですが、５２３辺りからボコボコっと作れない数が現れます。

上の記述に何らか誤りがあれば（あるような気がする）、遠慮なくメールにてご指摘いただけるとありがたいです。

ついでに、問題です。

１〜ｘの整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、２００６を作るとき、自然数ｘの最小値は何でしょうか。

これはもうすでにクリプトではないですね。解答はまた明日。

昨日の問題、

１〜ｘの整数を４個（重複してもよい）使った四則演算で、２００６を作るとき、自然数ｘの最小値は何でしょうか。

の答えです。２００６＝１４×１３×１１＋４　なので、「１４」が正解です？よね？（自信なし）
２００６年にちなんで、もっと何か２００６がらみの問題を出そうかと考えたのですが思いつきません。思いついたらまた出題しますね。

ここ数年、この時期になると日経ＰＣ２１というコンピュータ雑誌の表計算大会に挑戦しています。６，７年前だったと思うのですが、試しにやってみようかと思って一応自分なりに答えを出したのですが、その後の入選者の作ったものを見て感動しました。私がゴチャゴチャと長たらしい式でやっとのことで出した同じ結果を、スッキリ短い式で出していました。確か、論理式を使って0を返せば空欄に、1を返せば■を表示させるようにしていたと思います。それを見た次の年から応募するようになりました。パズルを考えるようで楽しいし、後で同じ問題を解いた達人の技を見るのも勉強になります。何より賞品のパソコンに目がくらみました。３年位前までは応募した後、「パソコンをゲットしたかも！」などと本気で思っていたのですが、実際はハシニモボウニモかかっていないようです（ここ５年くらいは努力賞の図書カードはいただいてるのですが）。昨年、一昨年はもうあきらめモードですが、宝くじを買うよりは確率が高いかな、というくらいに考えてExcelパズルを楽しんでいます。

実家に帰省のため、本年の更新はこれが最後です。わざわざ見に来てくださってありがとうございました。２００６年もどうぞよろしくお願いします。１月３日くらいから再開できると思います。では、よいお年をお迎えください。

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